Idź na całość – paradoks Monty’ego Halla

zonkPod koniec lat dziewięćdziesiątych TV Polsat emitował popularny teleturniej Idź na całość. Główna zasada gry była oparta na paradoksie Monty Halla, a polegała na podjęciu decyzji czy pozostać przy swoim pierwotnym wyborze, czy niewiadomą wymienić na inną.

 

Zagraj ze mną

Poniżej masz do wyboru trzy bramki. Możesz wybrać jedną z nich. Gdy już to zrobisz, ja wskażę w której z nich znajdował się jeden z Zonków. Teraz decyzja należy do Ciebie: zostajesz przy swoim wyborze, czy zmieniasz bramkę. Z pozoru podjęta decyzja wydaje się być bez znaczenia – w końcu zostają dwie bramki więc prawdopodobieństwo wygranej powinno być takie samo. Tak jednak nie jest. Mało tego, jedna z tych dwóch strategi daje dwukrotnie większe prawdopodobieństwo wygrania w stosunku do drugiej.

Spróbuj zagrać kilka razy stosując dwie strategie: pozostając przy swoim pierwszym wyborze oraz zmieniając decyzję po wskazaniu Zonka. Zwróć uwagę jak wygląda prawdopodobieństwo wygrania w zależności od strategii.
Symulację napisałem w Javascript, dlatego ktoś bardziej dociekliwy może wygrać w 100% przypadków. Ale nie o to tu chodzi. Dzięki temu każdy ma możliwość zweryfikowania tego czy program przypadkiem nie oszukuje.

Prawdopodobieństwo

Jeśli wykonałeś odpowiednio dużo prób każdej ze strategii, Twój wynik powinien wyglądać mniej więcej tak:

  1. Prawdopodobieństwo wygranej bez zmiany decyzji: 33,33%
  2. Prawdopodobieństwo wygranej po zmianie decyzji: 66,67%

Zmiana decyzji po odkryciu jednej z bramek daje dwukrotnie większe prawdopodobieństwo wygranej!

Dlaczego?

Przeanalizujmy kilka przypadków, zakładając że gracz wybiera pierwszą bramkę.

Bramka 1 Bramka 2 Bramka 3 Wynik w zależności od decyzji
brak zmiany zmiana
Wygrana Wygrana
Wygrana Wygrana
Wygrana Wygrana
1/3 1/3 1/3 1/3 2/3

Widać tutaj, że jeśli gracz będzie pozostawał przy pierwotnym wyborze wygra tylko wtedy gdy wygrana będzie znajdowała się dokładnie w tej bramce. Prawdopodobieństwo wygranej wynosi więc 1/3.

W przypadku jeśli gracz dokona zmiany wyboru, przegra tylko wtedy gdy wygrana będzie znajdowała się dokładnie w tej bramce. Prawdopodobieństwo wygranej wynosi więc 2/3 i jest dwukrotnie większe nie w przypadku strategii pozostawania przy swojej pierwotnej decyzji.

Paradoks więźnia (problem Serbelloni)

Kolejnym przykładem paradoksu Monty Halla jest poniższa zagadka:

Jan, Piotr i Tomasz są osadzeni w więzieniu. Dwaj z nich zostaną straceni, a jeden będzie uniewinniony. Żaden z nich nie zna decyzji sądu.
Piotr zadaje pytanie strażnikowi: „z pewnością zginie Jan lub Tomasz, jeśli więc powiesz mi kto z nich zostanie stracony to przecież nie ujawnisz informacji o moim losie”.
Strażnik postanowił spełnić prośbę więźnia i odpowiedział, że umrze Jan.
Piotr usłyszawszy informację odpowiedział: „czuję się od razu lepiej, ponieważ prawdopodobieństwo mojego ocalenia zwiększyło się z 1/3 do 1/2 bo oprócz mnie tylko Tomasz może być uniewinniony. Mam 50% szans!”.
Strażnik na to uśmiechając się: „Piotrze, twoje prawdopodobieństwo w dalszym ciągu wynosi 1/3. Mogłeś pominąć tą rozmowę, bo przecież wiedziałeś że wskażę kogoś z dwóch pozostałych więźniów. W tym momencie powinieneś chcieć być na miejscu Tomasza.”.

 

Ciekawostki

Marilyn vos Savant – amerykańska felietonistka znajdująca się w księdze rekordów Guinnessa jako osoba z najwyższym ilorazem inteligencji. Mając 10 lat uzyskała wynik 228. W 1990 roku dzięki niej paradoks Monty Halla zyskał bardzo dużą popularność w związku z opublikowanymi przez nią wyliczeniami prawdopodobieństwa tego zagadnienia. Jej publikacja wzbudziła wiele kontrowersji, a wśród autorów listów negujących jej prawidłowe wyliczenia byli pracownicy naukowi wielu uniwersytetów. Z treścią niektórych z nich można zapoznać się tutaj.

Ludzie a gołębie – przeprowadzone testy na gołębiach wykazały że pierwotnie zmieniały decyzje podobnie jak ludzie w ok. 30% przypadków. Po miesiącu ptaki w niemal stu procentach zmieniały swój wybór w celu otrzymania smakołyków. Po miesiącu odsetek ludzi zmieniających swój wybór spadł nawet poniżej pierwotnego progu i był znacznie gorszy od wyników gołębi. Wynika stąd, że zbyt mocno wierzymy w swoją intuicję i inteligencję w stosunku do doświadczenia.

W roku 2014 wciąż można spotkać ciekawe opinie w polskim internecie:

Co za brednie. Myślicie, że uwierzę iż przy dwóch bramkach- dobrej i złej- wcale nie ma 50% szansy na trafienie dobrej? Nic dziwnego, że tyle żartów o matematykach jest.

To raczej jest jak w rzucie monetą gdzie zawsze mamy 50% szans na wyrzucenie np. orła, bo każdy rzut to osobne zdarzenie losowe. Tutaj na początku mamy trzy 33,(3)% szansy na wybranie wygranej bramki, jedna odpada i tutaj zaczyna się nowe zdarzenie losowe, więc mamy 50% na wybranie wygranej bramki.

Moim zdaniem prawdopodobieństwo, że zmiana bramki się opłaci wynosi 50%, ponieważ gra tak naprawdę zaczyna się w momencie odrzucenia pustej bramki przez prowadzącego. Jesteśmy pewni, że pokaże nam pustą, niezależnie od naszego wcześniejszego wyboru. Tak samo, gdyby pustych było 99, wygrana jedna, a odsłaniał 98.

Mój matematyk wytłumaczył tego typu fenomeny tak:
„To, że wniesiesz na pokład samolotu bombę nie zmienia prawdopodobieństwa, że wniesie ją ktoś inny.”

Wyniki rozegranych rund

Na sam koniec statystyki wszystkich rozegranych gier na tej stronie:

To również może Cię zainteresować:

  • Dwa darmowe źródła wiedzy o JavascriptDwa darmowe źródła wiedzy o Javascript Jeśli nie wiesz jaka jest różnica między: //tym: var myFunction = (function () { console.log('OK'); }); //a tym: var myFunction = (function () […]
  • JS, ProcessingJS, kurs symulacji, trochę fizyki i matematykiJS, ProcessingJS, kurs symulacji, trochę fizyki i matematyki Dla chcących spróbowania sił w animacji JavaScript i symulacji natury z wykorzystaniem grawitacji czy przyspieszenia, polecam przerobienie darmowego kursu na khanacademy.org. Nie obejdzie […]
  • Game of life w javascriptGame of life w javascript Game of life to jeden z najbardziej znanych przykładów automatu komórkowego wymyślony blisko pół wieku temu. Dzięki kilku prostym regułom, struktury potrafią ewaluować w zaskakujący […]
  • Javascript jako serwer, czyli czat z wykorzystaniem Node.jsJavascript jako serwer, czyli czat z wykorzystaniem Node.js Node.js  jest środowiskiem do tworzenia aplikacji po stronie serwera w języku javascript. Wykorzystuje silnik javascript V8 od Google. Wykonanie oprogramowania serwera chatu z node.js […]
  • Node.js, Express i Jade, czyli kompletny web czatNode.js, Express i Jade, czyli kompletny web czat W poprzednim wpisie został wykonany serwer chatu, jednak klientem była zwykła strona html zapisana na dysku lokalnym. W tym miejscu rozszerzę chat o udostępnienie serwisu http dla […]
  • Permutacje i zagadka z trójkątemPermutacje i zagadka z trójkątem Rozwiąż poniższą zagadkę: Rozwiązanie i trochę o permutacjach poniżej. Jednak zachęcam spróbować samodzielnie rozwiązać to zadanie. Rozwiązanie logiczne Warunkiem poprawności jest […]

7 thoughts on “Idź na całość – paradoks Monty’ego Halla

  1. Szanowny Panie
    Tabela określająca prawdopodobieństwo wygranej jest niestety tylko pozornie dobrze skonstruowana, albowiem w momencie wystąpienia zdarzenia, mamy do wyboru wyłącznie DWIE bramki, co określa prawdopodobieństwo na 50%. Dołożenie jednej, stu czy miliona kolejnych bramek, o których WIEMY, że nie zawierają nagrody, nie może zmieniać prawdopodobieństwa wygranej

    • Dziękuję za komentarz. Dokładnie jest tak jak Pan pisze, ilość możliwych przypadków sprzyjających wygranej wynosi 3 * 2 + 6 * 1 = 12. 12 na 18 możliwych, czyli 2/3. Tabelka jest trochę „uproszczona”.

  2. W zagdadce nie ma informacji o tym kiedy nagroda zostaje umieszczona pod bramką. Jeżeli nagroda była tam od początku i nie zmieniła pozycji – wtedy warto zmieniać bramkę. Jeżeli nagroda została umieszczona dopiero po odsłonięciue pustej bramki – wtedy nie warto zmieniać wyboru.

  3. dziś kolega w pracy odkrył przed nami ten „paradoks” matematyczny. Jako jedyny nie mogę się z nim zgodzić bowiem dowód, który jest przedstawiany polega na rozpisaniu wszystkich szans, wszystkich kroków – słowem odpowiadający całej mocy zbioru i tu mamy według mnie pierwszą przesłankę ku temu, że nie można się tym kierować, bowiem gracz ma tylko 2 kroki do wykonania. Algorytm zadziała gdyby jeden gracz podejmował wybór wielokrotnie, to po pierwsze, czyli na zasadzie gry w 3 kubeczki, gdzie pod jednym jest moneta, a po pierwszym ruchu odkrywamy pusty kubek i wybieramy kolejny – z dwóch! i tak wielokrotnie postępuje ale TEN SAM GRACZ! Po drugie ujawniając pustą bramkę mamy według mnie nowe otwarcie – słowem to nie już ta sama gra, tylko nowa – nowa linia algorytmu, z dwoma a nie trzema elementami. Pierwsza gra polegała na tym, żeby wybrać jeden z trzech, a druga jeden z dwóch. Mimo, że wiesz, że przykładowo w 3 bramce nie ma nagrody, to wyboru ponownego dokonujesz między dwoma elementami, gdzie w jednym z nich nagroda jest lub jej nie ma. Rzecz kolejna jest taka, że pozostanie przy pierwotnej decyzji jest niczym innym jak dokonanie nowej, bo jeśli pozostajesz przy pierwotnym wyborze, to i tak wybierasz element jeden z dwóch jeśli zmieniasz to znów wybierasz jeden z dwóch. Słowem. Gracz żeby się przekonać o słuszności działania tego dowodu musiałby wielokrotnie wziąć udział w tej grze, przynajmniej tyle razy ile jest w ogóle wszystkich możliwości lub więcej z założeniem takim, że w całej grze cały czas biorą udział 3 elementy a nie biorą, bo w pierwszej linii algorytmu biorą trzy a w drugiej dwa. Wtedy twierdzenie to będzie poprawne. Ale jak wyglądałaby symulacja załóżmy 100 osób, z których każdy ma do wykonania tylko 2 kroki, pierwszy przy wyborze 1 z 3 drugi 1 z 2? Poza tym jeśli tak się zdarzy, że każda z tych 100 osób albo dajmy nawet miliona dokona akurat tak szczęśliwego wyboru, że od razu trafi w bramkę z nagrodą, to zalecana zmiana przyniesie im porażkę. Ktoś powie, no dobrze ale przy 10 000 000 ta zasada zadziała – tak, być może jeśli kolejne osoby podejmą inną decyzję, niż pierwszy milion a to kwestia szczęścia, losowości itd. Poza tym według mnie błąd logiczny polega na tym, że osoba, która wie, gdzie jest pusto wyprowadza z równowagi cały układ doświadczalny. Bardzo jestem ciekawy Państwa głosów.

  4. Zaglądam tu po obejrzeniu filmu „21”, jak wielu innych zaskoczony (w pierwszej chwili) paradoksem Monty’ego Halla. Wprawdzie autor tej witryny wszystko wyjaśnił czytelnie w akapicie „Dlaczego?”, to jednak widzę, że części osób nie dała się przekonać. Proponuję proste wyjaśnienie, które powinno przekonać każdego, kto tylko chce zrozumieć.

    Mamy 3 zdarzenia elementarne A, B i C oznaczajace, że nagroda jest odp. w 1, 2 lub3 bramce, każde o p-stwie 1/3 (a priori). W pierwszym kroku możemy wybrać tylko jedno ze zdarzeń elementarnych, np. A. Oczywiscie zdarzenie przeciwne (dopełniające)
    A’ = B u C ma p-stwo 2x większe, bo 2/3 . Po odkryciu pustej bramki – B lub C, dla ustalenia uwagi niech będzie to C, znamy lepsze oszacowanie p-stwa (a posteriori): p-stwo C wynosi 0 więc p-stwo A’ = B u C równe 2/3 musi być w całości skupione w B. Zatem zmieniając w drugim kroku pierwotny wybór z A na B, tak naprawdę, w nieco zamaskowanej formie, obstawiamy zdarzenie przeciwne tj. A’ czyli dwukrotnie bardziej prawdopodobne.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *