Idź na całość – paradoks Monty’ego Halla

zonkPod koniec lat dziewięćdziesiątych TV Polsat emitował popularny teleturniej Idź na całość. Główna zasada gry była oparta na paradoksie Monty Halla, a polegała na podjęciu decyzji czy pozostać przy swoim pierwotnym wyborze, czy niewiadomą wymienić na inną.

 

Zagraj ze mną

Poniżej masz do wyboru trzy bramki. Możesz wybrać jedną z nich. Gdy już to zrobisz, ja wskażę w której z nich znajdował się jeden z Zonków. Teraz decyzja należy do Ciebie: zostajesz przy swoim wyborze, czy zmieniasz bramkę. Z pozoru podjęta decyzja wydaje się być bez znaczenia – w końcu zostają dwie bramki więc prawdopodobieństwo wygranej powinno być takie samo. Tak jednak nie jest. Mało tego, jedna z tych dwóch strategi daje dwukrotnie większe prawdopodobieństwo wygrania w stosunku do drugiej.

Spróbuj zagrać kilka razy stosując dwie strategie: pozostając przy swoim pierwszym wyborze oraz zmieniając decyzję po wskazaniu Zonka. Zwróć uwagę jak wygląda prawdopodobieństwo wygrania w zależności od strategii.
Symulację napisałem w Javascript, dlatego ktoś bardziej dociekliwy może wygrać w 100% przypadków. Ale nie o to tu chodzi. Dzięki temu każdy ma możliwość zweryfikowania tego czy program przypadkiem nie oszukuje.

Prawdopodobieństwo

Jeśli wykonałeś odpowiednio dużo prób każdej ze strategii, Twój wynik powinien wyglądać mniej więcej tak:

  1. Prawdopodobieństwo wygranej bez zmiany decyzji: 33,33%
  2. Prawdopodobieństwo wygranej po zmianie decyzji: 66,67%

Zmiana decyzji po odkryciu jednej z bramek daje dwukrotnie większe prawdopodobieństwo wygranej!

Dlaczego?

Przeanalizujmy kilka przypadków, zakładając że gracz wybiera pierwszą bramkę.

Bramka 1 Bramka 2 Bramka 3 Wynik w zależności od decyzji
brak zmiany zmiana
Wygrana Wygrana
Wygrana Wygrana
Wygrana Wygrana
1/3 1/3 1/3 1/3 2/3

Widać tutaj, że jeśli gracz będzie pozostawał przy pierwotnym wyborze wygra tylko wtedy gdy wygrana będzie znajdowała się dokładnie w tej bramce. Prawdopodobieństwo wygranej wynosi więc 1/3.

W przypadku jeśli gracz dokona zmiany wyboru, przegra tylko wtedy gdy wygrana będzie znajdowała się dokładnie w tej bramce. Prawdopodobieństwo wygranej wynosi więc 2/3 i jest dwukrotnie większe nie w przypadku strategii pozostawania przy swojej pierwotnej decyzji.

Paradoks więźnia (problem Serbelloni)

Kolejnym przykładem paradoksu Monty Halla jest poniższa zagadka:

Jan, Piotr i Tomasz są osadzeni w więzieniu. Dwaj z nich zostaną straceni, a jeden będzie uniewinniony. Żaden z nich nie zna decyzji sądu.
Piotr zadaje pytanie strażnikowi: „z pewnością zginie Jan lub Tomasz, jeśli więc powiesz mi kto z nich zostanie stracony to przecież nie ujawnisz informacji o moim losie”.
Strażnik postanowił spełnić prośbę więźnia i odpowiedział, że umrze Jan.
Piotr usłyszawszy informację odpowiedział: „czuję się od razu lepiej, ponieważ prawdopodobieństwo mojego ocalenia zwiększyło się z 1/3 do 1/2 bo oprócz mnie tylko Tomasz może być uniewinniony. Mam 50% szans!”.
Strażnik na to uśmiechając się: „Piotrze, twoje prawdopodobieństwo w dalszym ciągu wynosi 1/3. Mogłeś pominąć tą rozmowę, bo przecież wiedziałeś że wskażę kogoś z dwóch pozostałych więźniów. W tym momencie powinieneś chcieć być na miejscu Tomasza.”.

 

Ciekawostki

Marilyn vos Savant – amerykańska felietonistka znajdująca się w księdze rekordów Guinnessa jako osoba z najwyższym ilorazem inteligencji. Mając 10 lat uzyskała wynik 228. W 1990 roku dzięki niej paradoks Monty Halla zyskał bardzo dużą popularność w związku z opublikowanymi przez nią wyliczeniami prawdopodobieństwa tego zagadnienia. Jej publikacja wzbudziła wiele kontrowersji, a wśród autorów listów negujących jej prawidłowe wyliczenia byli pracownicy naukowi wielu uniwersytetów. Z treścią niektórych z nich można zapoznać się tutaj.

Ludzie a gołębie – przeprowadzone testy na gołębiach wykazały że pierwotnie zmieniały decyzje podobnie jak ludzie w ok. 30% przypadków. Po miesiącu ptaki w niemal stu procentach zmieniały swój wybór w celu otrzymania smakołyków. Po miesiącu odsetek ludzi zmieniających swój wybór spadł nawet poniżej pierwotnego progu i był znacznie gorszy od wyników gołębi. Wynika stąd, że zbyt mocno wierzymy w swoją intuicję i inteligencję w stosunku do doświadczenia.

W roku 2014 wciąż można spotkać ciekawe opinie w polskim internecie:

Co za brednie. Myślicie, że uwierzę iż przy dwóch bramkach- dobrej i złej- wcale nie ma 50% szansy na trafienie dobrej? Nic dziwnego, że tyle żartów o matematykach jest.

To raczej jest jak w rzucie monetą gdzie zawsze mamy 50% szans na wyrzucenie np. orła, bo każdy rzut to osobne zdarzenie losowe. Tutaj na początku mamy trzy 33,(3)% szansy na wybranie wygranej bramki, jedna odpada i tutaj zaczyna się nowe zdarzenie losowe, więc mamy 50% na wybranie wygranej bramki.

Moim zdaniem prawdopodobieństwo, że zmiana bramki się opłaci wynosi 50%, ponieważ gra tak naprawdę zaczyna się w momencie odrzucenia pustej bramki przez prowadzącego. Jesteśmy pewni, że pokaże nam pustą, niezależnie od naszego wcześniejszego wyboru. Tak samo, gdyby pustych było 99, wygrana jedna, a odsłaniał 98.

Mój matematyk wytłumaczył tego typu fenomeny tak:
„To, że wniesiesz na pokład samolotu bombę nie zmienia prawdopodobieństwa, że wniesie ją ktoś inny.”

Wyniki rozegranych rund

Na sam koniec statystyki wszystkich rozegranych gier na tej stronie:

To również może Cię zainteresować:

  • Dwa darmowe źródła wiedzy o JavascriptDwa darmowe źródła wiedzy o Javascript Jeśli nie wiesz jaka jest różnica między: //tym: var myFunction = (function () { console.log('OK'); }); //a tym: var myFunction = (function () […]
  • JS, ProcessingJS, kurs symulacji, trochę fizyki i matematykiJS, ProcessingJS, kurs symulacji, trochę fizyki i matematyki Dla chcących spróbowania sił w animacji JavaScript i symulacji natury z wykorzystaniem grawitacji czy przyspieszenia, polecam przerobienie darmowego kursu na khanacademy.org. Nie obejdzie […]
  • Game of life w javascriptGame of life w javascript Game of life to jeden z najbardziej znanych przykładów automatu komórkowego wymyślony blisko pół wieku temu. Dzięki kilku prostym regułom, struktury potrafią ewaluować w zaskakujący […]
  • Javascript jako serwer, czyli czat z wykorzystaniem Node.jsJavascript jako serwer, czyli czat z wykorzystaniem Node.js Node.js  jest środowiskiem do tworzenia aplikacji po stronie serwera w języku javascript. Wykorzystuje silnik javascript V8 od Google. Wykonanie oprogramowania serwera chatu z node.js […]
  • Node.js, Express i Jade, czyli kompletny web czatNode.js, Express i Jade, czyli kompletny web czat W poprzednim wpisie został wykonany serwer chatu, jednak klientem była zwykła strona html zapisana na dysku lokalnym. W tym miejscu rozszerzę chat o udostępnienie serwisu http dla […]
  • Permutacje i zagadka z trójkątemPermutacje i zagadka z trójkątem Rozwiąż poniższą zagadkę: Rozwiązanie i trochę o permutacjach poniżej. Jednak zachęcam spróbować samodzielnie rozwiązać to zadanie. Rozwiązanie logiczne Warunkiem poprawności jest […]

6 thoughts on “Idź na całość – paradoks Monty’ego Halla

  1. Szanowny Panie
    Tabela określająca prawdopodobieństwo wygranej jest niestety tylko pozornie dobrze skonstruowana, albowiem w momencie wystąpienia zdarzenia, mamy do wyboru wyłącznie DWIE bramki, co określa prawdopodobieństwo na 50%. Dołożenie jednej, stu czy miliona kolejnych bramek, o których WIEMY, że nie zawierają nagrody, nie może zmieniać prawdopodobieństwa wygranej

    • Dziękuję za komentarz. Dokładnie jest tak jak Pan pisze, ilość możliwych przypadków sprzyjających wygranej wynosi 3 * 2 + 6 * 1 = 12. 12 na 18 możliwych, czyli 2/3. Tabelka jest trochę „uproszczona”.

  2. W zagdadce nie ma informacji o tym kiedy nagroda zostaje umieszczona pod bramką. Jeżeli nagroda była tam od początku i nie zmieniła pozycji – wtedy warto zmieniać bramkę. Jeżeli nagroda została umieszczona dopiero po odsłonięciue pustej bramki – wtedy nie warto zmieniać wyboru.

  3. dziś kolega w pracy odkrył przed nami ten „paradoks” matematyczny. Jako jedyny nie mogę się z nim zgodzić bowiem dowód, który jest przedstawiany polega na rozpisaniu wszystkich szans, wszystkich kroków – słowem odpowiadający całej mocy zbioru i tu mamy według mnie pierwszą przesłankę ku temu, że nie można się tym kierować, bowiem gracz ma tylko 2 kroki do wykonania. Algorytm zadziała gdyby jeden gracz podejmował wybór wielokrotnie, to po pierwsze, czyli na zasadzie gry w 3 kubeczki, gdzie pod jednym jest moneta, a po pierwszym ruchu odkrywamy pusty kubek i wybieramy kolejny – z dwóch! i tak wielokrotnie postępuje ale TEN SAM GRACZ! Po drugie ujawniając pustą bramkę mamy według mnie nowe otwarcie – słowem to nie już ta sama gra, tylko nowa – nowa linia algorytmu, z dwoma a nie trzema elementami. Pierwsza gra polegała na tym, żeby wybrać jeden z trzech, a druga jeden z dwóch. Mimo, że wiesz, że przykładowo w 3 bramce nie ma nagrody, to wyboru ponownego dokonujesz między dwoma elementami, gdzie w jednym z nich nagroda jest lub jej nie ma. Rzecz kolejna jest taka, że pozostanie przy pierwotnej decyzji jest niczym innym jak dokonanie nowej, bo jeśli pozostajesz przy pierwotnym wyborze, to i tak wybierasz element jeden z dwóch jeśli zmieniasz to znów wybierasz jeden z dwóch. Słowem. Gracz żeby się przekonać o słuszności działania tego dowodu musiałby wielokrotnie wziąć udział w tej grze, przynajmniej tyle razy ile jest w ogóle wszystkich możliwości lub więcej z założeniem takim, że w całej grze cały czas biorą udział 3 elementy a nie biorą, bo w pierwszej linii algorytmu biorą trzy a w drugiej dwa. Wtedy twierdzenie to będzie poprawne. Ale jak wyglądałaby symulacja załóżmy 100 osób, z których każdy ma do wykonania tylko 2 kroki, pierwszy przy wyborze 1 z 3 drugi 1 z 2? Poza tym jeśli tak się zdarzy, że każda z tych 100 osób albo dajmy nawet miliona dokona akurat tak szczęśliwego wyboru, że od razu trafi w bramkę z nagrodą, to zalecana zmiana przyniesie im porażkę. Ktoś powie, no dobrze ale przy 10 000 000 ta zasada zadziała – tak, być może jeśli kolejne osoby podejmą inną decyzję, niż pierwszy milion a to kwestia szczęścia, losowości itd. Poza tym według mnie błąd logiczny polega na tym, że osoba, która wie, gdzie jest pusto wyprowadza z równowagi cały układ doświadczalny. Bardzo jestem ciekawy Państwa głosów.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *